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五、拉格朗日对偶（Lagrange duality）

（1）拉格朗日算子

如果我们需要求解形如这样的优化问题：

我们定义拉格朗日算子（Lagrangian）：

其中，称为拉格朗日乘数（Lagrange multipliers）。

（2）广义拉格朗日算子

在上述优化问题上引入带有不等式的约束条件：

定义广义拉格朗日算子为：

这里的拉格朗日乘数分别为和。（）

（3）拉格朗日原始问题

这里的字母P是代表“primal”。

如果w违反原始问题的约束条件（存在某些i,使得或），将使得变为无穷大：

相反，如果约束条件严格满足，那么。即：

我们的目标求的最小值，在满足约束条件的情况下，等价于求解的最小值。

为了方便讨论，定义，我们称p^*的值为原始问题。

（4）拉格朗日对偶问题

令

这里的下标D，代表“dual”。

那么原始问题的对偶问题可以表示为：

为了方便讨论，定义，称d^*的值为对偶问题。

与上式比较可看出，仅max和min的位置做了交换，而其他不变。因此能够得出下面的结论（对于任意函数来说，max min的值总是小于min max的值）：

并且在满足一定条件的情况下等号成立，即：

因此，可以通过求解对偶问题来间接的求解原始问题。

六、KKT条件（Karush-Kahn-Tucher necessary and sufficient conditions）

如果一个最优化问题的目标函数和约束条件分别满足如下形式：

拉格朗日算子为：

假设存在,其中是原是问题的可行解，而是对偶问题的可行解。如果满足KKT条件，那么既是原始问题的解同时也是对偶问题的解：

KKT条件表示如下：

再加上原本约束条件和拉格朗日算子的约束KKT条件可以表示为：

留意以上约束条件的第（2）（3）（5）条，由于 ，因此当时，，而当时，。下文介绍支持向量机时将会看到，这个特殊性质，是保证SVM仅仅需要少量的“支持向量”的关键。

七、支持向量机

（1）支持向量

如下图所示，为训练样本的决策边界（超平面），A，B，C三点为和决策边界距离最近的三个点（一负两正三个样本），而超平面的确定仅仅依赖于这三个点，而与其他的点无关，这三个点就称为支持向量（support vectors）。

在KKT条件中，支持向量的，；而非支持向量，。

（2）优化的分类器

分类器的目标函数和约束条件为如下形式：

我们可以将约束条件改写为：

再构造拉格朗日算子：

这里构造的拉格朗日算子仅有拉格朗日乘数而没有。

首先，固定，让关于w，b最小：

解得：

再对b求偏导：

再将带入

又，因此有：

我们再求对偶问题，即关于的最大值：

经过这样处理，将问题转换成仅仅和的值相关。

求出的值，再通过，求出的w值。然后通过

求出w和b的值以后，我们可以写出超平面的解析式：

从上式可以看出，最终超平面的解析式仅仅和训练样本，以及相关。对于一个新的无标记点，仅仅需要计算其与样本的内积即可得出他的类别。

更为巧妙的是：所有非支持向量的都为0（非支持向量都在函数间隔为1的超平面后方，不决定超平面位置），因此计算仅仅设计少量的支持向量点。